در این پایان نامه، قاعده ی ساروس را برای محاسبه ی دترمینان ماتریس های مربعی مرتبه های بالاتر از سه تعمیم می دهیم. و همچنین به تعمیم قاعده ی لاپلاس یا بسط دترمینان بر اساس یک سطر و یک ستون به kسطر و kستون می پردازیم. و نیز بعضی از کاربردهای دترمینان را در زمینه های زیر مورد استفاده قرار می دهیم، که عبارتند از: محاسبه ی مشتق ‐nام توابع کسری، تعیین تحدب و تقعر توابع، بخش پذیری بر اعداد اول، اثبات نابرابری ها، تعیین مقادیر ویژه و بردارهای ویژه، محاسبه ی مجموع توان های طبیعی اعداد طبیعی ابتدا از ،1حل بعضی از مسائل جبر مجرد، تعیین نوع مقاطع مخروطی و بحث در مورد علامت و ریشه های معادلات درجه ی دوم و سوم
