محمد علی اردلانی

فضاهای هاردی، که فضاهایی خاص از توابع هولومورفیک روی گوی یکه در صفحه ی مختلط هستند، از جمله فضای توابع مورد بحث در آنالیز تابعی بوده و مانند فضاهای باناخ، از جهات مختلفی مانند خواص مجموعه ای، ساختار توپولوژیکی، ساختار هندسی و مفاهیم همگرایی و امثال آن مورد توجه هستند. فضای هاردی وزن دار حالت تعمیم یافته ی فضاهای هاردی بوده که در اینجا روی گوی یکه مورد بحث قرار می گیرند. برد عددی برای عملگر خطی کراندار T روی یک فضای هیلبرت مختلط H عبارت است تصویر کره ی واحد ۱ = ∥x ∥تحت ضرب داخلی که به شکل W(T) := { ⟨T x, x⟩ : x ∈ H, ∥x∥ = ۱ } معرفی می شود. این مجموعه که مانند طیف یک عملگر زیرمجموعه ای از صفحه مختلط است، دارای ویژگی های هندسی خاصی مرتبط با آن عملگر می باشد. این مجموعه را می توان در خواص اصلی با طیف عملگر مقایسه نمود که در اینجا خواص و کاربرد برد عددی و طیف، روی ضرب داخلی مطالعه خواهد شد. از خواص اساسی برد عددی، تحدب است که توسط قضیه ی مشهور توپلیتز-هاسدورف بیان می شود و ثابت می کند که برد عددی همبند است. همچنین به مطالعه و بررسی رفتار برد عددی، طیف، طیف نقطه ای عملگرهای کراندار و عملگرهای فشرده روی فضاهای هاردی وزن دار می پردازیم. اگر در برد عددی، حاصل ضرب را به حاصل ضرب روی فضاهای هاردی وزن دار تعمیم دهیم، ویژگی های متفاوتی خواهد داشت. هدف ما مفهوم برد عددی تحت حاصل ضرب نیمه داخلی به معنای لومر است که ویژگی های خاص خود را دارد. لومر [27] نشان داد که فضای حاصل ضرب نیمه داخلی یک فضای خطی √ است و هر فضای خطی نرم دار مانند (∥ · ∥ ,X (حداقل یک حاصل ضرب نرم دار با نرم [x ,x[ نیمه داخلی [· ,·] دارد که در شـرایطی خــاص صدق می کند. در نهـایت، با اثبـات یک گـزاره ی اساسی (قضیه ی3 . 3 . 1) که بیان می کند گوی یکه ی فضاهای هاردی وزن دار هموار می باشد نشان داده خواهد شد که یک و تنها یک حاصل ضرب نیمه داخلی به معنای لومر (رابطه ی 3 . 27)، روی فضاهای هاردی وزن دار وجود دارد که در رابطه ی (2 . 5) صدق می کند. به عنوان چند نتیجه برخی خواص این برد عددی مورد بحث قرار خواهد گرفت. از جمله نشان داده خواهد شد که فضای هاردی وزن دار، یک فضای به طور یکنواخت محدب است