در سال 1972 آلفسن و افراس برای اولین بار مفهوم M-ایده آل را برای فضاهای باناخ تعریف کردند. در این پایان نامه ابتدا به بررسی مفهوم M-ایده آل می پردازیم وسپس مثال هایی از M-ایده آل ها در فضاهای باناخ مختلف را بررسی می کنیم. در ادامه کار محک هایی را برای شناسایی M-ایده آل ها معرفی می کنیم. تمرکز اصلی ما روی این مطلب قرار دارد که چه نگاشت هایی حافظ M-ایده آل هستند و مشاهده می شود که یکریختی های حافظ M-ایده آل لزوما طولپا نیستند. قضیه باناخ-استون مطب دیگری است که مورد مطالعه قرار می دهیم. این قضیه بیان می کند که اگر بین فضای توابع پیوسته دو فضای هاوسدورف فشرده مانندX وY یکریختی طولپا وجود داشته باشد آنگاه X وY با یکدیگر همانریختند. ما با استفاده از نگاشت های حافظ M-ایده آل صورتی از قضیه باناخ-استون را بیان می کنیم که در آن یکریختی بین فضای توابع پیوسته لزوما طولپا نیست.
