فرض کنید R حلقه ای یکدار، \delta یک خودریختی R باشد. در این پایان امه مفایهم اساسی حلقه های اول (نیمه اول)، \delta-اول (\delta-نیمه اول)، \sigma-اول (\sigma-نیمه اول)، مشتق تعمیم یافته، مشتق متعامد و مشتق تعمیم یافته متعامد را معرفی می کنیم. شرایط لازم و کافی روی vیhg ارائه می دهیم به طوری که حلقه های چند جمله ای اریب R[x,x^{-1};\sigma]، R[x,\sigma] و R[x;\delta] اول یا نیمه اول باشند. همچنین، نتایجی مربوط به مشتقات تعمیم یافته ی متعامد برای ایده آلی غیر صفر از یک حلقه ای نیمه اول تعمیم داده شده است. این نتایجی تعمیمی از نتایج ام. بریشر و جی. ووکمن هستند.
