محمد زرین

فرض کنیدG یک گروه باشد وx_1 ,x_2 ,…,x_n∈G. جابجاگر x_1 وx_2 که با [x_1 ,x_2 ] نشان داده می شود را به صورت 〖x_1〗^(-1) 〖x_2〗^(-1) x_1 x_2 تعریف می کنیم و برایn ≥2 به صورت [x_1,x_2,…,x_n ]=[[x_1,x_2,…,x_(n-1) ],x_n ] تعریف می کنیم با این قرارداد که[x_1 ]=x_1. فرض کنید x ,y ∈G. یک نماد مختصرنویسی مهم به صورت [x ,(_m^)y ] = [x,⏟(y,y,…,y)┬m ] است با این قرارداد که [x ,(_ 0 ^)y ]= [x]. زیرمجموعه ی S از گروه G را یک مجموعه ی انگل می نامیم اگر برای هرx ,y ∈S، یک عدد صحیح مثبت n=n_((x ,y) ) وجود داشته باشد به طوری که [x ,(_n^)y ]=1. فرض کنید S ={ x ,y }و G=〈S〉، که درآن Sیک مجموعه ی انگل است. آن گاه اعداد صحیح مثبت nوm وجود دارند به طوری که [x ,(_n^)y ]=1 و[y ,(_m^)x ]=1؛ و در این حالت می گوییم عضوهایx و yدوبه دو انگل هستند و هرگاه ،n ≥m آن گاه آن ها را دو به دو n- انگل می گوییم. اگرچه گروه تولید شده توسط یک مجموعه ی انگل متناهی لزوماً پوچ توان نیست، در این پایان نامه علاقه مندیم شرایطی را برای گروه تولیدشده بوسیله ی یک مجموعه ی انگل متناهی پیدا کنیم که پوچ توان باشد. مرجع اصلی این پایان نامه، مقاله ای با عنوان "گروه های متناهی تولیدشده بوسیله ی یک مجموعه ی انگل متناهی" از عبداللهی، برندل و تورتورا است که در منبع [1] آمده است. ابتدا نشان می دهیم که هر گروه از کلاس گروه های پوچ توان - بواسطه ی - آبلی تولید شده بوسیله ی یک مجموعه ی انگل متناهی پوچ توان است و سپس تحقیق خود را روی گروه های تولید شده بوسیله ی یک مجموعه ی انگل از اندازه ی 2 متمرکز می کنیم و به طور کلی ثابت می کنیم که چنین گروهی پوچ توان است هرگاه متعلق به کلاس گروه های آبلی- بواسطه ی- پوچ توان از کلاس 2 باشد. یک موضوع متداول در تئوری عضوهای انگل، پیدا کردن شرایطی روی G است که L(G)=HP(G) و B(G)=L ̅(G)؛ که HP(G) و B(G) به ترتیب نشان دهنده رادیکال هیرسچ پولاتکین و رادیکال بیر می-باشد.