پایان نامه مورد بحث در مورد انگل عناصری از یک گروه است که با یک سری یادآوری ها و تعاریف اولیه آغاز شده است. در اینجا به چند مورد آن اشاره می کنیم. انگل چپ: عنصر را یک انگل چپ از گروه G گویند هر گاه، به ازای هر ، عدد صحیح مثبتی مانند n موجود باشد به قسمی که جابجاگر . و مجموعه ی تمام انگل عناصر چپ گروه G را با (G) L نشان می دهیم. عنصر را یک k – انگل چپ از گروه G گویند هر گاه به ازای هر ، و مجموعه ی تمام k – انگل عناصر چپ از گروه G را با نشان می دهیم.همچنین مجموعه ی تمام عناصر متعلق به را انگل عناصر چپ کراندار از G گوییم. وتعاریف مشابه برای انگل عناصر راست نیز برقرار است. در این مقاله انگل عناصری از یک گروه را که به یک مجموعه ی خاص نسبت داده شده مورد بررسی قرار می دهیم. مثلاً اگر X یک زیر مجموعه از گروه G باشد در این صورت تمام انگل عناصر وابسته به مجموعه X رامورد بررسی قرار می دهیم و تمام تعاریف بیان شده در بالا در مورد زیر مجموعه ی X نیز صادق است. به همین ترتیب تمام انگل عناصر راست وابسته به X، را با و مجموعه تمام k– انگل راست های وابسته به X، را با نشان داده و در مورد بئررادیکال وهرش پلوتکین رادیکال از گروه G که تعاریف آنها به قرار زیر است صحبت می کنیم. {موضعاً پوچ توان باشد و B(G) = {aϵG :باشد زیر نرمال در { در خاتمه به یک سری از قضایای مهم و اساسی می پردازیم از جمله اینکه و را طبقه بندی کرده و روابط بین , , , را مورد بررسی قرار می دهیم (که در آنXG ) [1] و نشان می دهیم اگر X یک زیر گروه نرمال حل پذیر از G باشد آنگاه و [2] و[3].
