محمد زرین

گروه های حل پذیر، مهمترین رده از گروه ها می باشند. در واقع حل پذیری گروه ها اولین بار توسط گالوا، برای حل پذیری چندجمله ای ها مطرح شد. برای گروه متناهی، (G)‎ را مجموع تمام مرتبه های عناصر G‎ در نظر بگیرید. می توان به صورت کلی ‎ ψ(X) را برای هر زیرمجموعه ‎ X‎ از ‎ G‎ تعریف کرد. در سال ‎2009‎، آقایان آیزاک و امیری ثابت کردند که اگر ‎ Gگروهی متناهی از مرتبه n ‎ باشد، آنگاه ‎ ψ(G)≤ψ(Cn) و حالت تساوی برقرار است اگروتنهااگر ‎G≅Cn‎ باشد. بنابراین مجموع مرتبه های تمام عناصرCn‎ ، بزرگتر از هر گروه دیگری از مرتبه n‎ است‎. هدف از این پایان نامه، اثبات دو محک برای حل پذیری گروه های متناهی است که توسط هرزوگ و لانگوباردی و ماج، در سال ‎2018 ثبات شده است. به این صورت که اگر G‎ یک گروه متناهی از مرتبه n‎ شامل زیرگروه ‎A با شاخص، توانی از عدد اول‎ p‎ و ‎A ‎ دارای زیرگروه نرمال و دوری B باشد بطوری که برای عدد صحیح نامنفی r ‎، AB‎ یک گروه دوری از مرتبه 2r است، آنگاه G‎ حل پذیر است‎.‎ دومین محک حل پذیری گروه های متناهی از مرتبه ‎n ، اشاره بر کسر ‎ψ(G)ψ(Cn) دارد به این صورت که اگر G‎ گروهی متناهی از مرتبه n‎ باشد که در شرط ‎ (G)≥16/68 ψ(Cn)صدق کند، آنگاه G‎ حل پذیر است.‎ کلیه‎ منابع این پایان نامه از مرجع [15] گرفته شده است.‎