امروزه مبحث مربوط به مشتق و انتگرال کسری تحت عنوان حسابان کسری شناخته می‌شود. با الهام از حسابان کسری، معادلات دیفرانسیل کسری برای توصیف و مدل سازی بسیاری از پدیده های فیزیکی و شیمیایی ظاهر می‌شوند. از کاربردهای متنوع معادلات دیفرانسیل کسری می‌توان به بررسی جریان سیال در یک مایع الکترومغناطیس و بسیاری پدیده های دیگر اشاره نمود. معادله همرفت-انتشار پایای گالیله مرتبه کسری موضوع تحقیق ما در این پایان نامه است که یکی از مهم ترین معادلات دیفرانسیل مرتبه کسری و یک مدل چالش برانگیز به حساب می‌آید. یافتن یک روش همگرا و پایدار برای حل مسأله همرفت- انتشار مرتبه کسری یک موضوع شایان توجه است. زکی روش هایی مانند هم محلی ژاکوبی، ژاکوبی⁃گالرکین و روش طیفی تاو را برای حل عددی مسأله، به کار برده و مورد تحلیل قرار داده است. از جمله روش های دیگری که برای حل عددی این مسأله، به کار رفته می‌توان به روش عنصر طیفی روش عنصر متناهی ، روش هموتوپی و روش تفاضلات متناهی اشاره نمود. در این تحقیق یک روش بدون شبکه برای حل مسأله ایجاد و بررسی خواهد شد. در ابتدا مسأله اصلی به کمک روش کرانک- نیکلسون به یک مسأله نیم گسسته تبدیل شده و پایداری روش به صورت تحلیلی بررسی میگردد. در گام دوم یک روش بدون شبکه برپایه گالرکین بدون عنصر بر روی فرم ضعیف معادله پیاده سازی شده و یک دستگاه کاملا گسسته ایجاد می‌شود. همگرایی و کران خطای روش به صورت تحلیلی به دست آمده و با انجام آزمایشات عددی نیز مورد تایید قرار خواهد گرفت.
