فرض کنید A یک جبر مثلثی باشد. در این پایان نامه دو مشتق جدیدی به نام اکسترمال( extremal ) را معرفی می کنیم و نشان می دهیم که تحت شرایط خاصی روی مولفه های جبر A ، هر دو مشتق A ، مجموع یک دو مشتق اکسترمال و یک دو مشتق داخلی است. سپس با استفاده از این نتیجه، ساختار دو مشتق های جبرهای بالا مثلثی بلوکی را مورد بررسی قرار خواهیم داد. بررسی این سوال که چه زمانی هر مشتق یک جبر مثلثی یک مشتق داخلی است، و نیز بررسی ساختار دو مشتق های چپ حلقه ی بالا مثلثی از اهداف دیگر پایان نامه ی حاضر می باشد. آخرین بخش این پایان نامه به مشتق حلقه های نیمه اول 2- بی تاب اختصاص دارد.
