در این پایان نامه به هر ایده ال تک جمله ای خالی از مربع گراف $G_I$ را وابسته می کنیم که به آن گراف اولین سیزیجی $I$ می گوییم. در حالاتی که این گراف مسیر، دور و درخت باشد مشخص کرده ایم تحت چه شرایطی ایده آل $I$ تحلیل خطی دارد. همچنین نشان داده ایم که در این حالات تحلیل خطی ، ترتیب خطی و تجزیه پذر راسی بودن برای ایده آل $I$ معادل هستند.
