در این رساله، کاربرد روش اجزای طیفی در تقریب جواب عددی برخی مسائل علوم و مهندسی بررسی می شود. این روش که ترکیبی از دو روش معمول حل عددی معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی، یعنی روش طیفی و روش اجزای محدود است، به طور مطلوبی ویژگی های مثبت دو روش را به ارث می برد. پس روش اجزای طیفی هم انعطاف پذیری هندسی روش اجزای محدود و هم دقت بالای روش های طیفی را دارد. استفاده از چندجمله ای های لاگرانژ در نقاط لژاندر - گاوس- لوباتو، منجر به ماتریسقطری جرم می شود و این ویژگی مهمی در کاهش میزان محاسبات است. درنتیجه ما در این رساله از این چندجمله ای ها به عنوان پایه استفاده می کنیم. در فصل های ابتدایی مفاهیم و مقدمات لازم برای پیاده سازی و محاسبه ماتریس های مورد نیاز روش اجزای طیفی لژاندر آورده می شود. قضیه همگرایی به همراه یک مثال عددی ساده ارائه می شود. در ادامه برخی مسائل مهم و پرکاربرد در علوم مختلف با این روش حل شده و جنبه های تئوری و کاربردی آنها بررسی می شود. این مسائل عبارتند از معادله ساین - گوردون، مسئله کنترل بهینه با قید مشتقات جزئی بیضوی، معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی تصادفی و معادلات انتگرال - دیفرانسیل ولترا. برای تمام این مسائل آنالیز خطا و نتایج عددی به طور مفصل بررسی شده است. مقایسه نتایج عددی حاصل نشان می دهد که کارایی و دقت روش اجزای طیفی نسبت به سایر روش ها بهتر و برای مسائل مختلف قابل استفاده است. به وضوح می توان دید که برای به دست آوردن دقت بالاتر می توان درجه چندجمله ای های پایه و یا تعداد اجزا را به دلخواه افزایش داد. در پایان هم روش اجزای طیفی گسسته گالرکین را معرفی می کنیم. ماتریس های لازم در این روش را با استفاده از انتگرال گیری عددی به دست آورده و معادله تعادلی جمعیت را با استفاده از این روش حل می کنیم.
