کمال فلاحی

ریاضیات برخلاف علوم تجربی که در آن ها حدس، گمان و آزمون و خطا دخیل است، علم قطعیت است. هر مفهومی در ریاضیات باید تعریفی دقیق داشته باشد؛ به گونه ای که مفهوم موردنظر را به طور جامع و بدون کوچترین ابهامی بیان کند. برای بحث و تبادل نظر درباره این مفاهیم و انتقال آن ها به دیگران، به ابزارهایی دقیق و توانمند نیاز داریم. یک ͺاز این ابزارها، »نظریه مجموعه ها« است. این نظریه یکی از پرطراوت ترین و هیجان انگیزترین نظریه های ریاضیات است. در اهمیت این نظریه همین بس که آن را زبان رسمیریاضیات می‌دانند؛ درست همان طور که کسانͬ مانند گاوس، ریاضیات را زبان رسمی و به تعبیری دیگر، ملͺه علوم می‌دانند. نظریه مجموعه ها همان طور که از نامش پیداست، به مطالعه مجموعه ها می‌پردازد؛ اما برای مطالعه خود مجموعه ها و اثبات روابط بین آن ها، به ابزارهایی دیگری نیاز داریم. به همین منظور فصل اول کتاب به معرفͬی و بحث درباره منطق مقدماتی اختصاص یافته است. در این فصل گزاره و رابط های گزاره ای معرفی شده اند و سپس استدلال استنتاجی و چند روش اثبات حͺم های ریاضی بیان شده است. فصل دوم کتاب به معرفی مجموعه ها می‌پردازد. در این فصل بعد از نمایش آن ها به زبان ریاضی وارد بحث جبر مجموعه ها می‌شویم. در فصل سوم، از مفهوم مجموعه ها کم ͷمی‌گیریم و با مفهوم رابطه روی مجموعه ها آشنا می شویم. فصل چهارم به مفهوم تابع اختصاص دارد که یک ͷمفهوم اساسی برای درک بهتر فصل های باقی مانده کتاب است. در فصل پنجم کتاب به معرفی جبر بول می پردازیم و با گزاره های منطقی به صورت جبری برخورد می‌کنیم. در فصل ششم کتاب با استفاده از مفهوم تابع، درباره متناهی، نامتناهی شمارا و ناشمارا بودن مجموعه ها یازده بحث خواهیم کرد. درک عمیق از مفهوم تابع در این فصل بسیار مفید خواهد بود. در فصل هفتم مفهوم اعداد اصلͬ را معرفی می‌کنیم و نشان می‌دهیم اعداد اصلی متناهی دقیقاً همان اعداد صحیح نامنفی هستند. بعد از آن با حساب این نوع اعداد آشنا می‌شویم. در نهایت در فصل هشتم، اصل انتخاب را بیان کرده و چند صورت معادل آن را بررسی می‌کنیم. نکته ای که ذکر آن در اینجا لازم است، این است که مطالب کتاب، ارتباط تنگاتنگی با یک دیگر دارند؛ بنابراین خواننده قبل از مطالعه هر فصل، باید اطمینان حاصل کند که مطالب فصل های قبلی را به خوبی فراگرفته است. از ویژگی‌های این کتاب می‌توان به تعداد بسیار زیاد مثال ها در هر بخش از کتاب اشاره کرد که در فهم بهتر مطالب کتاب، بسیار مؤثر است. علاوه بر این برهان تمام قضیه های موجود در کتاب به زبانی ساده و با ذکر تمام جزئیات بیان شده است. وجود این دو ویژگی باعث می‌شود کتاب به صورت خودخوان نیز قابل استفاده باشد. علاوه بر این ها، در پایان هر بخش، چند تمرین و در پایان هر فصل، چند پرسش چهارگزینه ای برای محک ͷزدن فهم خواننده از مطالب کتاب قرار داده شده است