$V=\{x_1,\dots,x_n,y_1,\ldots,y_m\}$. و $ k $ میدان و $R=k[x_1,\ldots,x_n,y_1,\ldots,y_m]$ یک حلقه چندجمله‌ای روی میدان $ k $ باشد. فرض کنید $ I=I(G) $ یک ایده‌آل یالی $ R $ متناظر با گراف $ G $ است.گراف $ G $ کوهنمکالی دنبالهای دوگانه است اگر $R/I$ کوهنمکالی دنبالهای دوگانه باشد. در این رساله گراف‌های دوبخشی کوهنمکالی دنبالهای دوگانه را مورد مطالعه قرار می‌دهیم و درخت‌های کوهنمکالی دنبالهای دوگانه را طبقه‌بندی کردیم. همچنین، اگر $ R/I $ کوهنمکالی دنبالهای دوگانه باشد آنگاه می‌توانیم بعد‌پروژکتیو $ R/I $ تعیین کنیم.\\ در ادامه، فرض کنید $ R $ حلقه‌ای ناجابجایی یکدار باشد. گراف جابجاگر $ R $ که آن را با $ \Gamma(R) $ نشان می‌دهیم، گرافی با مجموعه راس‌های $ R\setminus Z(R) $ است، و دو راس $ a $ و $ b $ مجاور هستند، اگر $ a\neq b $ و $ ab=ba $ باشد. فرض کنید $ T=Tr(R) $ حلقه‌ی همه‌ی ماتریس‌های بالامثلثی $ 2\times 2 $ روی $ R $ و $ \Gamma(T) $ گراف جابجاگر $ T $ باشد. در فصل سوم این رساله، تعداد یال‌ها، کلیک‌ها، عدد کلیک و عدد استقلال گراف جابجاگر $ T $ را وقتی $ R $ میدان متناهی است، پیدا می‌کنیم. به علاوه نشان می‌دهیم در حالتی که $ R=\mathbb{Z}_{n} $ میدان نباشد، $ \Gamma(T) $ همبند و $. diam\Gamma (T)=3 $ همچنین نتایج مفیدی به دست آورده و مثال‌هایی بیان می‌شود. در پایان سوالی مطرح می‌شود.
