امیر مافی

\textbf{\large{چکیده}} \end{center} فرض کنید $ R $ یک حلقه جابجایی و $ \mathbb{A}(R) $ مجموعه ای از ایدآل ها با پوچساز مخالف صفر باشد. در این مقاله و دنباله اش گراف ایدآل-پوچساز $ R $ را که با $ \mathbb{AG}(R) $ نشان داده می شود، معرفی و بررسی می کنیم. گراف ایدآل-پوچساز $ R $ یک گراف غیر جهت دار است با رأس های $\mathbb{A}(R)^{\ast}:=\mathbb{A}(R) \backslash \left\lbrace \left( \mathbf{0} \right) \right\rbrace $ و دو رأس متمایز $ I $ و $ J $ مجاورند اگر و تنها اگر $ IJ=(\mathbf{0}) $. ابتدا بعضی از شرایط متناهی بودن $ \mathbb{AG}(R) $ را بررسی می کنیم. به عنوان مثال، نشان داده می شود که اگر $ R $ یک حوزه صحیح نباشد، آنگاه $ \mathbb{AG}(R) $ روی رأس هایش دارای شرط زنجیره ای صعودی (به ترتیب شرط زنجیره ای نزولی) خواهد بود، اگر و تنها اگر $ R $ نوتری (به ترتیب آرتینی) باشد. به علاوه، مجموعه ی رئوس $ \mathbb{AG}(R) $ و مجموعه ی ایدآل های سره ناصفر $ R $ عدد اصلی یکسانی دارند هنگامی که $ R $ یا آرتینی و یا یک حلقه قابل تجزیه باشد. با این نتیجه برای حلقه ی $ R $ ، $ \mathbb{AG}(R) $ دارای $ n $ رأس $ (n \geq 1) $ خواهد بود اگر و تنها اگر $ R $ دارای $ n $ ایدآل سره ناصفر باشد. سپس پیوستگی $ \mathbb{AG}(R) $ را بررسی خواهیم کرد. نشان داده خواهد شد که $ \mathbb{AG}(R) $ یک گراف همبند است و $ diam(\mathbb{AG}(R) ) \leq 3 $ و اگر $ \mathbb{AG}(R) $ شامل یک دور باشد، آنگاه $ gr(\mathbb{AG}(R)) \leq 4 $. همچنین حلقه های $ R $ که در آن گراف $ \mathbb{AG}(R) $ یک گراف کامل یا ستاره، و نیز حلقه های $ R $ که در آن هر رأس $ \mathbb{AG}(R) $ یک ایدآل اول (ماکسیمال) است بررسی خواهد شد. \textbf{کلمات کلیدی:} حلقه های تعویض پذیر، ایدآل-پوچساز، مقسوم علیه-صفر، گراف