امیر مافی

این پایان نامه ادامه مطالعه گراف ایده آل پوچساز حلقه های جابجایی معرفی شده در \cite{5 5} می باشد. فرض کنید $ R $ یک حلقه جابجایی با $ \mathbb{A}(R) $ مجموعه ایده آل ها با پوچساز غیر صفر و $ Z(R) $ مجموعه ای از مقسوم علیه های صفر باشد. گراف ایده آل پوچساز حلقه $ R $ به عنوان گراف (بی جهت) $ \mathbb{AG}(R) $ که رأس های آن $ \mathbb{A}(R)^{*} = \mathbb{A}(R) \setminus \{(\mathrm{0})\} $ تعریف می شود که در آن برای تمام رأس های مجزای $ I $ و $ J $، $ J $ --- $ I $ یک یال است اگر و تنها اگر $ IJ = (\mathrm{0}) $. در ابتدا قطر گراف $ \mathbb{AG}(R) $ مورد مطالعه قرار می گیرد. یک توصیف کامل برای قطر، به طور منحصر به فرد در روابط ایده آل های $ R $ داده می شود هنگامیکه، یا حلقه $ R $ یک حلقه نوتری باشد یا $ Z(R) $ یک ایده آل از حلقه $ R $ نباشد. سپس، رنگ آمیزی گراف های ایده آل پوچساز مورد مطالعه قرار می گیرد و همچنین $ \chi(\mathbb{AG}(R)) \leq 2 $ یا حلقه $ R $ تقلیل یافته و $ \chi(\mathbb{AG}(R)) \leq \infty $ را مشخص می کنیم. این نتایج نشان می دهند که برای هر حلقه تقلیل یافته $ R $، $ \chi(\mathbb{AG}(R)) = cl(\mathbb{AG}(R)) $. علاوه بر این، اگر $ \chi(\mathbb{AG}(R)) $ متناهی باشد، آن گاه حلقه $ R $ تعداد متناهی ایده آل اول مینیمال دارد و اگر $ n $ این عدد باشد، آن گاه $ \chi(\mathbb{AG}(R)) = cl(\mathbb{AG}(R)) = n $. در آخر، نشان داده می شود که برای یک حلقه نوتری $ R $، $ cl(\mathbb{AG}(R)) $ متناهی است اگر و تنها اگر برای هر ایده آل $ I $ از $ R $ با $ I^{2} = (\mathrm{0}) $، $ I $ تعداد متناهی $ R $-زیر مدول داشته باشد